By Daniel Plaumann

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Through the years 1903-1914, Ramanujan labored in nearly whole isolation in India. in this time, he recorded so much of his mathematical discoveries with out proofs in notebooks. even though lots of his effects have been already present in the literature, such a lot weren't. virtually a decade after Ramanujan's loss of life in 1920, G.

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Dann gilt φ(V ) = π(Γφ ) und die Aussage folgt aus dem Satz. 24. Sei K/k eine Körpererweiterung, I ⊂ k[x , . . , x n ] ein Ideal und J das von I in K[x , . . , x n ] erzeugte Ideal. Zeigen Sie, dass J ∩ k[x , . . , x n ] = I gilt. 25. Zeigen Sie, dass das Radikal eines Ideals wieder ein Ideal ist. 26. Es sei V ⊂ A die Vereinigung der drei Koordinatenebenen und W ⊂ A die Vereinigung der drei Koordinatenachsen. Zeigen Sie I(V ) = ⟨x yz⟩ und I(W) = ⟨x y, yz, xz⟩. 27. Seien f , g ∈ k[x , .

Die Division mit Rest ist für Polynome in mehreren Variablen also möglich, hat aber im allgemeinen keine guten Eigenschaften. Idealerweise hätten wir gern, (a) dass der Standardrest von f bezüglich g , . . , gs wenigstens bei fixierter Monomordnung wohldefiniert ist. (b) dass dieser Standardrest genau dann  ist, wenn f im Ideal ⟨g , . . , gs ⟩ enthalten ist. Wir werden zeigen, dass jedes Ideal ein Erzeugendensystem g , . . , gs besitzt derart, dass die Division mit Rest in gewünschter Weise funktioniert, nämlich eine sogenannte Gröbnerbasis.

Wir schreiben meistens einfach g für die Restklasse g + I(V ) eines Polynoms g ∈ k[x , . . , x n ] in k[V ]. Konkret bedeutet das in dieser Situation folgendes: Ein Polynom f ∈ k[x , . . , x n ] bestimmt eine Polynomfunktion f ∶ An → K, p ↦ f (p). Die Einschränkung dieser Funktion auf die affine k-Varietät V ist also eine Funktion f ∣V ∶ V → K. Zwei Polynome f und g bestimmen genau dann dieselbe Funktion V → K, wenn f − g auf V verschwindet, also wenn f − g ∈ I(V ). Per Definition ist dies äquivalent dazu, dass f und g in derselben Restklasse modulo des Ideals I(V ) liegen, also f = g.

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